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来源:网络 关键字:所有自然数之和是负十二分之一 更新时间:2018-11-18 13:31:32
延伸:
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    刘大可
    最近有一个很有趣的视频,讲述了这样一件数学趣事:全体自然数的和是-1/12。
    虽然果壳和知乎上都已经有了问答,但是数学语言过于晦涩,不利于理解,所以我自己写了一份更简洁的日志作为阐述,不过尽量保证了严谨。首先说视频,他是这么证明的:设
    这个东西等于多少呢?很显然,这要看你在什么地方停下来了,如果你停在第奇数个1上,结果就是1;如果停在偶数个1上,那结果就是0。既然这样的话,那就平均一下好了,它等于1/2。看到这里,你显然会觉得这实在荒唐愚蠢,但是更“荒唐”的东西还在后面,但新奇的东西也在后面,你最好还是继续看下去。好,有了S1=1/2,他又令
    那么取两个S2错开一位相加,即
    则有2S2=S1=1/2,,也就是S2=1/4!虽然这让人很不服气,但是他接着计算
    既然S2=1/4,那么我们大功告成了,S=-1/12——全体自然数的和是-1/12!
    看到这里的时候,我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑,但视频中一再声称这种算法的意义,所以我翻墙出去做了个简单的研究,得到了这样的结论:我们确实可以对全体自然数求和得到-1/12,但这个和并非我们做加法得到的代数和,而
    是发散级数和——这个-1/12根本就不“加”出来的。于是,下面就是我对这个问题的解释,虽然有一些公式,但是都极其简单,你可以轻松阅读不费脑子。要弄明白这个问题,我们首先要知道什么是“级数”以及“发散级数”,而这是一个非常简单的问题。随便找一个数列,比如等差数列an=n,也就是1、2、3、4、5、6??把数列中的每个元素都用加号连接起来,就是一个级数,其实就是求总和。对于上面的an,它的级数就是
    其中,级数的前n项的和被称作部分和,记作Sn(其实就是“数列的前n项和”,高考复习翻来覆去做过的那个东西)。那么只要上过高中就能意识到,随着n趋于无穷,级数的部分和Sn有可能趋近于某一个值,即有极限,比如级数1+1/2+1/4+1/8??,它的部分和就会不断趋近于2。这样的级数称为收敛级数,这个部分和的极限就是收敛级数的和;级数的部分和Sn也可能不趋近于某一值,即无极限。比如1+2+3+4+??,越加越大趋于无穷;又比如1-1+1-1+??,部分和一会儿是1一会儿是0,永远不会固定。只要级数的部分和不是越来越接近某一个定值,就都是发散级数。事情到这里,都是高中数学就学过的内容。很明显的,在这样的背景下,一个发散级数的和没有意义,但是在应用数学中,尤其是物理学的数学应用中,常常被迫需要计算发散级数的和。于是,数学家们发明了很多种算法,在保证收敛级数的和不变的前提下,又让发散级数确实能算出一个东西来,这就是发散级数和,也就是视频里计算出来的那个东西。但是要注意,视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和,但并不能给出良性的定义,也就不是严格意义上的发散级数求和,所以千万不要觉得数学家和物理学家是在胡闹,更不要对科学的严谨产生怀疑。那么,如何计算发散级数和呢?事实上,发散级数和有许多种算法,这些方法强度不同,但结果一致,这里先捡一个最简单也最弱的“切萨罗求和”。
    恩纳斯托·切萨罗(ErnestoCesàro,1859-1906)
    切萨罗求和(Cesàrosummation)是意大利数学家恩纳斯托·切萨罗(ErnestoCesàro)发明的发散级数求和法。对于一个发散级数n项的平均值,即令,对它的部分和数列Sn求前
    如果tn有极限,那么这个极限就是发散级数的和,称为切萨罗和。不难体会到,切萨罗和本质上是在求数学期望,视频里辅助用的级数1-1+1-1+??=1/2那个“平均一下”就是这么来的。
    当n无穷增大的时候,分子上的1只有n的一半那么多,所以它显然是1/2。这个乍看怪异的级数和首先由意大利数学家路易吉·格兰迪(LuigiGuidoGrandi)于1703年发现,因此被称为格兰迪级数,当时被当作一个佯谬。后来那个著名流体力学奠基者,荷兰数学家丹尼尔·伯努利(DanielBernoulli),以及瑞士的大数学家莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)都对它做过研究,一直都是争议的焦点。直到19世纪才由切萨罗等人提出了这样的良好定义。
    路易吉·格兰迪(LuigiGuidoGrandi,1761-1742)
    莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler,17181781)
    丹尼尔·伯努利(DanielBernoulli,1700-1782)
    而到了量子物理时代,格兰迪级数及其衍生级数意外的变得有用——这或许让你联想起薛定谔的猫,要么是死(0)要么是活(1),那它就是半死不活(1/2)。但它们的关系显然不是这么幼稚简单,它被用来研究量子化的费米子场(费米子包括组成实体万物的基本粒子,比如电子、质子、中子,以及中微子这样极其重要的基本粒子),它们同时具有正的和负的本征值。另外在玻色子(比如光子)的研究中,格兰迪级数也有戏份,比如揭示宇宙中“真空不空”的“卡西米尔效应”而格兰迪级数最重要的衍生级数,就是视频里的另一个辅助用的级数:
    它最早于18世纪中期由欧拉发现(又是他,而且当时他已经瞎了)。视频里发现这个级数和的时候错开了一位,但实际上错开多少位结果都一样,例如错开两位:
    当然,欧拉这样的数学大师是用了更复杂的方法才发现了它,并被当作另一个佯谬提出。这个佯谬直到19世纪80年代初才由刚才的恩那斯托·切萨罗等人研究出了定义良好的计算方法,但是,这个级数不能直接用上面的切萨罗求和计算,因为tn仍然没有极限,需要做一些复杂的扩展,这里就不加说明了,或者采用下面灰字部分的阿贝尔求和也能轻易算出——如果你不想看,不看也可以。阿贝尔求和(Abelsummation)来自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔(NielsHenrikAbel)在幂级数研究上的总要结果阿贝尔定理(不要介意这个定理是干什么用的)。如果|x|1,且幂级数(也就是级数中的每一项都有一个指数)
    收敛,那么
    就是级数
    的阿贝尔和。虽然看上去比较玄,但明白了其中的意思就是“比1小但无限接近于1”,就能明白就是一个无限接近1的数,整个算法也就不难明白了。下面再给出一种更简单,同时也更巧妙的算法:
    看明白了吗?把两个格兰迪级数“相乘”(实际上是一种被称为柯西乘积的数列卷积,但是这两个数列的数字实在简单,恰好与直接乘法结果一致),可以用一个棋盘格子表示其结果中的每一项,黑色表示1,红色表示-1,那么斜着数一数黑红格子数,就可以数出1个黑的、2个红的、3个黑的、4个红的??,也就是1-2+3-4+??,所以
    有没有觉得很有趣?现在回到最初的问题上来,“全体自然数的和是-1/12?”是一个发散得非常厉害的级数,不论切萨罗求和还是阿贝尔求和都强度不够,对它无能为力。真正给出这个发散级数的良性定义的计算方法的,是印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努詹(SrinivasaRamanujan)给出的拉马努詹求和。但这个求和非常复杂:若函数f(x)在x=1处不发散,那么令
    C(0)就是级数的拉马努詹和了??好吧,恐怕没有足够数学基础的人是无法看懂了,所以我并不打算在这里讲述——能看懂的人不需要我这样的水平来讲;看不懂的人我这样的水平也讲不了。不过可以简单介绍一下拉马努詹这个人,因为他是一个传奇的数学神才——天才只是一个更加优秀的常人,但神才是一个超出常人理解的存在,一个开了外挂的存在。他从没有接受过高等数学教育,却仅凭直觉就能直接发现惊人的数学公式,证明他正确工作就甩给天才们了——于是留下了一连串的拉马努詹猜想,而绝大多数都被证明正确。
    斯里尼瓦瑟·拉马努詹(SrinivasaRamanujan,1887-1920)
    他总能用直觉和洞察力给出不可思议的数学公式,比如他发现:
    又如他重病时,他在剑桥大学的导师哈代前去探望,哈代说:“我乘计程车来,车牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。”拉马努詹答道:“不,那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。”(即1729是1和12的立方和,也是9和10的立方和,后来这类数称为的士数。)说完不久,拉马努詹就病死了??后来哈代这样评价他:“他的知识的缺陷和他的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的人??直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握??超出了世界上任何一个数学家,他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项;但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念??”
    拉马努金的传奇故事还有很多,这里点到为止,有兴趣的同学可以自行查阅。除了拉马努詹求和,全体自然数组成的发散级数还可以用黎曼ζ给出维基百科的页面,如果上过大学数学,应该能获得感性认识。另外,这里额外补充一个发散级数:函数计算,这里
    也就是无穷多个1相加,在通常的认识里,它也就是无穷大的化身——但是作为一个发散级数,同样可以用拉马努詹求和或者采用黎曼ζ函数计算,结果是-1/2。这实在让人难以置信,但同样在物理学上有切实的意义——所以在21世纪初一次巴塞罗那的报告会上,两位杰出的物理学家A.Slavnov和F.Yndurain不约而同地说道:“各位都知道,1+1+1+1+?=?1?2——含义是:如果您不知道这个,那么继续听下去是没有意义的。”(Elizalde,Emilio(2004).Cosmology:TechniquesandApplications.)好,这就是日志的结尾了,重申开头部分提过的那句话:全体自然数之和等于-1/12并不是加法游戏搞出来的代数和,而是将其作为发散级数,经过严谨的定义计算获得的发散级数和,只有声明它是切萨罗和、阿贝尔和、拉马努詹和或者任何级数和才有意义。而这个级数和同样在物理学中有重要应用,特别是在当代物理的量子论和弦论当中。另外,还需谨记:数学和科学永远严谨,一丝不苟,如果你发现其中有看似荒唐或者怪异的结论——请先跳出自己常识认知的藩篱,了解其中的深意再做评价。举个最常见的例子,陈景润证明哥德巴赫猜想时得出了“任何充分大的偶数都是两个自然数的和,一个质因数不超过1个(即质数),另一个的质因数不超2个”,简称“1+2”,如果一听到这个简称就跑出去说“陈景润证明了1+2=3”,并且藉此说“到现在数学都没证明1+1=2”,那就真是太可笑了——我初三的数学老师就是这么一个家伙,我很讨厌他,因为他欺负我。另外,本人非数学专业,欢迎指正。